Conception et évaluation des performances des systèmes

Estimation de probabilités et de quantiles rares

Contexte

L'évaluation de performances de système nécessite de plus en plus des techniques adaptées d'estimation. En effet, dans de nombreux secteurs tels que la défense, le spatial mais aussi la finance par exemple, on tend à caractériser et par conséquent à probabiliser les risques inhérents à ces applications. Les études sur l'estimation d'évènements rares permettent, par exemple, de répondre à des questions telles que: quelle est la probabilité qu'un missile retombe à plus de X mètres de sa cible? Comment déterminer la zone de retombée à 99% d'un étage de lanceur spatial? Quelle est la probabilité de collision entre deux avions dans l'espace aérien?

Méthodes

Pour répondre aux précédentes interrogations, les méthodes d'estimation et d'intégration les plus couramment utilisées (Monte Carlo, Quasi Monte Carlo) n'aboutissent pas à des résultats suffisamment précis. En effet, le nombre d'échantillons disponibles est souvent insuffisant pour calculer de manière précise des probabilités aussi faibles que celles que l'on souhaite estimer (il faut au moins 105 échantillons pour estimer finement une probabilité de l’ordre de 10-4). Il est donc nécessaire de mettre en place des techniques adaptées à l'estimation de ces probabilités. Celles-ci peuvent être divisées principalement en deux grandes catégories : les techniques de paramétrisation des queues de densité de probabilité (PDF) basées sur la théorie des valeurs extrêmes, et les techniques de simulation et d'échantillonnage d'importance de types Importance Sampling ou Importance Splitting. Nous avons mis ces techniques en place au DCPS et aussi proposé des voies d’améliorations de leur performance dans des publications.

Evolution itérative de la densité g (jusqu’à g10) par importance sampling pour déterminer le quantile à 10-7 de la densité g0.

Exemples d’application

Les domaines d'application concernant la sûreté de fonctionnement sont ainsi très étendus et dépassent le cadre uniquement aérospatial. Parmi les applications traitées actuellement au DCPS, les figures suivantes illustrent l’évaluation de zones de retombées de lanceur spatial et l’estimation de probabilité de collision entre avions dans l’espace aérien par des méthodes d’évènements rares.

Estimations de quantiles rares (95% en vert, 99% en bleu et 99.99% en rouge) et de leur écart-type pour caractériser la zone de retombées d’un lanceur (le trait plein correspond à la valeur du quantile de retombées et le trait pointillé à l’écart-type autour de celui-ci).

Evaluation de la probabilité de collision entre avions dans un espace aérien non contrôlé.

Contact

Dr. Jérôme Morio
jerome morio (at) onera . fr
http://www.onera.fr/staff/jerome-morio/

Publications dans des journaux ou conférences de rang A :

• Sampling technique for launcher impact safety zone estimation, J. Morio and R. Pastel, Acta Astronautica, Volume 66, Issues 5-6, March-April 2010, Pages 736-741.
• Importance sampling: how to approach the optimal density?, J. Morio 2010 Eur. J. Phys. 31 pages 41- 48.
• An overview of importance splitting for rare event simulation, J. Morio, R. Pastel and F. Le Gland, Eur. J. Phys, , 31, 5, pp. 1295-1303, September 2010.
• Nonparametric Adaptive Importance Sampling for the probability estimation of a launcher impact position, J. Morio, Elsevier Reliability Engineering & System Safety, 96 (2011),1, 178–183.
• Onboard sensor orientation analysis with kriging method, J. Morio and F. Muller, Acta Astronautica, Volume 64, Issues 2-3, January-February 2009, Pages 374-381.
• Estimating Satellite Versus Debris Collision Probabilities via the Adaptive Splitting Technique, R. Pastel, J. Morio and F. Le Gland, in proceeding of ICCMS 2011.
• Estimation de probabilités et de quantiles rares pour la caractérisation d’une zone de retombée d’un engin, J. Morio, R. Pastel and F. Le Gland, Journal de la Société Française de Statistique.
• Influence of input PDF parameters of a model on a failure probability estimation, J. Morio, Elsevier Simulation Modelling Practice and Theory

Mis à jour le 7 janvier 2009 - © ONERA 2009 - Crédits et conditions d'utilisation