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DADS - Aéroélasticité et dynamique des structures

Modélisation et simulation des vibrations moyennes et hautes fréquences des structures complexes

Problématique des moyennes et hautes fréquences

Les structures complexes présentent un comportement vibratoire aux hautes fréquences (HF) faisant apparaître des phénomènes du type transport et diffusion d’énergie. Le comportement aux basses fréquences (BF) est quant à lui physiquement très bien représenté par des ondes globales stationnaires (les modes propres de vibration). Cette représentation n’est en revanche plus du tout pertinente pour les hautes fréquences en raison des interactions multiples des ondes élastiques avec les hétérogénéités matérielles et structurales du milieu à l’échelle de leurs longueurs d’onde, ou des réflexions sur les bords et aux interfaces entre éléments structuraux présentant des contrastes de raideur importants (raidisseurs, jonctions mécaniques, planchers …). Dans le domaine dit des fréquences intermédiaires, ou moyennes fréquences (MF), on observe un régime de transition entre les deux comportements, basses et hautes fréquences.
 

Vibrations moyennes fréquences avec modélisation de la complexité structurale
 

Les stratégies de modélisation mécanique et les méthodes d’analyse des structures complexes sont aujourd’hui très performantes pour le domaine modal BF. La complexité structurale, c’est-à-dire l’ensemble des équipements ou sous-structures secondaires non accessibles à la modélisation et rattachés à une structure maîtresse quant à elle entièrement accessible à la modélisation, est prise en compte par l’intermédiaire de masses équivalentes ponctuelles ou réparties. Un modèle réduit construit par projection sur un petit nombre de modes propres de vibration associés aux fréquences propres les plus basses permet d’accéder efficacement à la réponse de la structure maîtresse pour n’importe quel type de sollicitations, déterministes ou aléatoires.
 

Dans le domaine MF, la construction de modèles réduits devient problématique. Elle exige d’une part la prise en compte d’un grand nombre de modes propres de vibration, et d’autre part celle du comportement viscoélastique avec mémoire des matériaux, contrairement au domaine BF où des lois de comportement à mémoire instantanée sont suffisantes. Par ailleurs la complexité structurale joue maintenant un rôle important dans la dynamique du système complet. En effet, lorsqu’on augmente la fréquence, on atteint et dépasse la fréquence propre fondamentale de chacun des sous-systèmes qui le constitue, sollicitant ainsi un grand nombre de degrés de liberté internes liés à ces équipements. Une partie de l’énergie mécanique totale est donc transférée vers les sous-systèmes secondaires, avec pour effet d’introduire un amortissement apparent important des niveaux vibratoires dans la structure maîtresse. Par définition, une modélisation déterministe classique de la complexité structurale – par exemple par éléments finis - n’est ni efficace, ni même accessible. Il a donc été proposé d’en construire une modélisation probabiliste, essentiellement liée à la donnée des zones d’attache des sous-systèmes. La théorie du flou structural (Soize 1986) a été développée à l’ONERA dans cette optique et validée sur un certain nombre d’exemples significatifs tant en dynamique des structures qu’en vibroacoustique.
 

L’étape suivante a consisté à valider les outils de modélisation numérique développés jusqu’à présent en les confrontant aux résultats expérimentaux obtenus pour un système réel représentatif d’une structure industrielle complexe équipée de nombreux sous-systèmes. Par « structure complexe » nous entendons un système mécanique constitué d’assemblages multiples de structures plus simples telles que des poutres, des plaques, des coques ou bien de sous-systèmes plus complexes mais modélisés simplement par leurs matrices d’impédance vues de leur frontière avec la structure principale (théorie des structures floues), tels que par exemple des équipements électromécaniques ou hydrauliques.
 

Le système ainsi construit pour cette étude est un assemblage tridimensionnel de quelques 300 plaques en dural raidies ou non, comportant une cinquantaine de cavités acoustiques, pour une masse totale de 825 kg, une longueur de 5,3 m, une largeur de 2,5 m et une hauteur de 1,4 m (voir figure 1 ci-dessous). L’ensemble des équipements secondaires fixés sur la structure maîtresse a une masse de 200 kg environ. Le modèle éléments finis de la structure principale a été recalé sur la base des identifications expérimentales effectuées sur une configuration « à vide » (sans les équipements). La validité de l’approche théorique proposée a été testée en comparant les mesures et les calculs des énergies mécaniques propagées par la structure principale pour deux configurations possibles avec équipements. Une base de donnée expérimentale complète a été construite pour les réponses vibratoires de la structure principale.

Figure 1: CAD view of the "unloaded" experimental complex structure
Fig. 1 : Vue CAO de la structure complexe expérimentale « à vide ».


Ci-dessous sont reproduits les résultats de ces essais pour les configurations vide et pleine : la figure 2 présente les réponses en fréquence de la structure « vide » mesurées et calculées en différents points, et la figure 3 présente les énergies mécaniques estimées par la mesure et le calcul dans certaines zones de la structure « pleine ». Ces résultats, s’ils sont satisfaisants jusqu’à 600 Hz environ, ont montré en revanche que les modèles numériques développés étaient encore insuffisants pour couvrir toute la bande d’analyse en moyennes fréquences [100,1200] Hz pour cette structure. Des recherches avancées doivent être conduites afin d’enrichir les modèles disponibles, par des approches multi échelles ou multi physiques notamment, voire développer des méthodes alternatives - et notamment les approches énergétiques asymptotiques en théorie du transport.
 

Figure 2: Comparison of the measured and computed accelerations at different points
Figure 2 : comparaison des accélérations mesurées
et calculées en différents points

 

Figure 3: Comparison of the mechanical energy estimated by measurement and computation for different parts of the structure
Figure 3 : comparaisons des énergies mécaniques estimées par la mesure
et le calcul pour différentes zones de la structure

 

Vibrations hautes fréquences
 

Deux approches sont actuellement utilisées pour la prévision des vibrations des structures aux hautes fréquences. L’analyse statistique énergétique (connue sous le sigle de SEA, pour Statistical Energy Analysis en Anglais) constitue une approche globale dans la mesure où elle ne fournit que des estimations des énergies vibratoires moyennes par sous-systèmes mécaniques. La difficulté principale de la méthode est la détermination des paramètres physiques qui interviennent dans sa formulation : facteurs de perte par dissipation, facteurs de perte par couplage entre sous-systèmes, densités modales, puissances injectées. Les modèles de diffusion d’énergie vibratoire peuvent être qualifiés de locaux car ils fournissent des estimations des densités d’énergie et d’intensité vibratoire. Néanmoins ils n’ont jusqu’à présent été mis en œuvre que pour des structures simples (poutres, plaques) car ils reposent sur des hypothèses fortes difficilement vérifiables – voire fausses – pour des structures plus complexes.
 

Analyse statistique énergétique
 

L'ONERA, et en particulier le département DADS, bénéficie d'une expertise avancée en ce qui concerne l'analyse statistique énergétique, tant sur le plan de l'expérimentation que sur celui de la modélisation et des simulations numériques. La formulation de base de la SEA est fondée sur des hypothèses suffisamment affaiblies pour permettre son ouverture à un champ d'applications relativement vaste. Ses difficultés de mise en oeuvre, soulignées plus haut, sont celles rencontrées aujourd'hui par tous les ingénieurs et chercheurs souhaitant l'appliquer à des cas industriels pratiques. Il s'agit essentiellement d'identifier les paramètres intervenant pour ces applications ; néanmoins le corps théorique reste relativement stable. La SEA fait l'objet de très nombreux travaux de recherche et de développement dans les laboratoires du monde entier, et est maintenant fréquemment utilisée à un stade industriel.
 

Conductivité vibratoire et diffusion d’énergie

L'étude des modèles de diffusion d'énergie a déjà fait l'objet de travaux à l'ONERA en 1995. Elle se limitait aux cas d'une poutre de Euler-Bernouilli en flexion et d'une plaque de Kirchhoff-Love en flexion. Un des apports de ces travaux a été la proposition d'une nouvelle "loi de comportement énergétique" pour une plaque, liant l'intensité vibratoire au gradient de la densité d'énergie mécanique. En injectant cette relation dans l'équation locale de conservation de l'énergie, on obtient une équation de diffusion pour la densité d'énergie mécanique.
 

Les modèles de diffusion d'énergie ont été initiés dans les années 1970 par différents chercheurs russes avant d’être repris au début des années 1990 par plusieurs équipes aux Etats-Unis et en Europe. Tous ces travaux restent limités aux cas de structures simples : câbles, poutres, membranes ou plaques. La validité de la loi de comportement énergétique, pourtant au coeur de ces approches, est largement remise en cause dans la littérature récente, ce qui limite son extension aux cas de structures plus complexes. En fait cette loi est généralement fausse, ou ne reste exacte que dans un cadre d'hypothèses extrêmement restrictives. Cette inconsistance explique en partie les insuffisances des modèles de diffusion d'énergie lorsqu'ils sont confrontés à des solutions de référence « exactes » ou à des résultats expérimentaux. Néanmoins ils ont été implémentés dans différents codes de calcul des structures et sont parfois utilisés à un stade industriel.
 

Approche proposée : analyse énergétique asymptotique
 

Sur la base de quelques résultats mathématiques récents relatifs aux estimateurs d’énergie (H-mesures et mesures de Wigner) associés aux solutions oscillantes de l’équation des ondes pour un milieu élastique, nous avons montré que la densité d’énergie vibratoire d’une structure hétérogène quelconque satisfait une équation de transport transitoire. Cette approche permet également de conserver toute l’information relative à la directivité des flux d’énergie dans un tel milieu. Elle généralise les deux méthodes précédemment décrites pour la prédiction des vibrations hautes fréquences. Afin d’illustrer cette théorie, nous l’avons mise en œuvre dans des cas simples de poutres et de plaques présentant des caractéristiques mécaniques aléatoires. Les simulations numériques réalisées pour une coque cylindrique épaisse permettent d’exhiber les régimes de transport et de diffusion et leur transition (voir figures 4 & 5 ci-dessous, où k0 désigne le rapport de la longueur de corrélation des hétérogénéités du matériau sur la longueur d’onde). L’application de cette recherche concerne la prédiction de la réponse dynamique des structures à des impacts d’origine mécanique ou acoustique, du type chocs pyrotechniques par exemple, dans le domaine transitoire.


Figure 4: Propagation of bending energy in a heterogeneous thick cylindrical shell, k0 = 1,0

Figure 4 : Propagation d'énergie de flexion dans une coque cylindrique hétérogène
 

k0 = 1,0.Figure 5: Propagation of bending energy in a heterogeneous thick cylindrical shell, k0 = 10,0

Figure 5 : Propagation d'énergie de flexion dans une coque cylindrique hétérogène, k0 = 10,0
 

L'extension de l'approche énergétique asymptotique à des structures aéronautiques complexes (milieu bornés, matériaux viscoélastiques) n'est pas immédiate. En effet deux aspects essentiels ne sont pas pris en compte dans la théorie originale : l'amortissement d'une part, et les conditions aux limites d'autre part.
 

  • Concernant la prise en compte des effets d'amortissement avec mémoire, on peut montrer que les équations de transport sont globalement inchangées par rapport au cas purement élastique, confirmant en cela les observations expérimentales faites pour les matériaux visco-élastiques aux hautes fréquences.
  • Concernant la prise en compte des conditions aux limites, il s'agit essentiellement d'obtenir les conditions aux limites en énergie pour l'équation de transport (ou de transfert radiatif) à partir des conditions aux limites en déplacement et contrainte pour l'équation des ondes élastiques.
     

Les résultats obtenus peuvent être mis en oeuvre dans des cas pratiques adaptés à la dynamique des structures et à la vibroacoustique : analyse pour un matériau poreux ou des assemblages par exemple. Le couplage structure-fluide acoustique externe peut aussi être traité, sachant que pour un milieu acoustique non borné ces résultats s'appliquent directement. 


 

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