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DAFE - Aérodynamique fondamentale et expérimentale

Dynamique 2D de paires de tourbillons

La dynamique 2D intéresse la forme lointaine des sillages d’avions en atmosphère calme. Au cours de sa thèse, Vincent Brion avait observé et signalé pour la première fois le caractère linéairement instable des dipôles bidimensionnels de tourbillons. Ce résultat, qui n’était nullement l’objectif de cette thèse, a été exploré par la suite. Une analyse de stabilité linéaire a été conduite sur un modèle de paire de tourbillons, le dipôle de Lamb-Chaplygin, qui est représenté dans la figure ci-dessous en termes de vorticité.

La dynamique tridimensionnelle de cet écoulement était déjà bien connue. Néanmoins les aspects 2D n'avaient pas encore été étudiés. Deux nouvelles familles d'instabilités ont donc été découvertes et sont illustrées sur la figure ci-dessus. La première est une famille de modes symétriques, qui sont marginalement instable (leur taux d'amplification est très faible). La deuxième famille de modes, antisymétriques, est plus instable, et surtout, instationnaire (la figure ci-dessus ne montre que la partie réelle du mode ; la partie imaginaire non montrée ici décrit l'évolution en temps de l'instabilité). A la suite de la découverte de ces modes, l'étude a principalement été orientée vers l'analyse et la compréhension de leur dynamique. Dans un premier temps, on a montré que le mode antisymétrique donne lieu à des oscillations du dipôle tourbillonnaire autour de sa direction d'avancement. Cette direction d'avancement résulte de l'auto induction que chaque tourbillon du dipôle imprime sur l'autre. Ce mouvement d'oscillation est illustré dans la figure ci-dessous. Le dipôle avance vers la gauche.

Cette instabilité a été interprétée. Plusieurs mécanismes interviennent. Le premier est l'effet d'étirement dans les directions à +/- 45° imposé par chaque tourbillon au niveau du centre de l'autre tourbillon. Cet étirement a tendance à amplifier les mouvements des tourbillons dans ces directions. Chacun de ces déplacements, qui peuvent initialement se produire sous l'effet d'une perturbation quelconque (par exemple de la turbulence), produit alors un lâcher tourbillonnaire à l'arrière du dipôle. Ce lâcher tourbillonnaire conduit à la présence d'un sillage de vorticité qui est bien visible dans la figure ci-dessus. La vorticité qui est présente dans cette région induit alors sur les tourbillons une amplification des mouvements initiaux qui, combinée à l'effet d'étirement, entretiennent l’instabilité.

L'existence de cette instabilité antisymétrique signifie qu'un dipôle 2D équilibré (formé par deux tourbillons d’intensités strictement égales) a très peu de chance de rester sur une trajectoire rectiligne. La moindre petite perturbation va conduire à une modification de cette trajectoire selon le mode qui a été décrit ci-dessus. Il s’agit là d’un résultat de nature purement fondamentale. Il n’existe pas à notre connaissance de preuve expérimentale sur le sujet. Pour l’aéronautique l’existence de dipôle 2D est avérée par la simple observation visuelle de contrails (traînée de condensation) présentant de très longues extensions dans des atmosphères non perturbées. Mais, toujours selon notre connaissance, aucune mesure précise ne permet d’évaluer la trajectoire exacte des tourbillons lâchés par un avion dans une atmosphère calme. En présence de perturbations atmosphériques non négligeables, les mécanismes instables 3D dominent alors la dynamique de sorte que l’incidence de la dynamique 2D décrite ici n’a plus vraiment de pertinence.

 

Références

Brion, Sipp & Jacquin, Linear dynamics of the Lamb-Chaplygin dipole in the two-dimensionnal limit, soumis au Phys. Fluids.

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