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DAFE - Aérodynamique fondamentale et expérimentale

Dynamique des écoulements en régime transitionnel

De façon traditionnelle, on considère qu'il existe deux types d'écoulements présentant des instationnarités de nature différente : les oscillateurs caractérisés par un spectre présentant un pic insensible au bruit environnant et les amplificateurs de bruit, dont le spectre est plus large-bande, à l'image du bruit existant à l'amont. Nous avons démontré que ces deux dynamiques doivent être caractérisées par des quantités différentes, des valeurs propres de Jacobienne pour les oscillateurs et des valeurs singulières de résolvante pour les amplificateurs de bruit.

 

> Oscillateurs

Plusieurs configurations ont été étudiées, dont un écoulement de cylindre et un écoulement de cavité ouverte. Dans ce dernier cas, la bifurcation de Hopf apparaît pour un nombre de Reynolds égal à 5400. Pour Re=6250, la solution stationnaire des équations de Navier-Stokes est présentée dans la figure ci-dessous et le spectre comporte un mode global instable représenté en face. Une simulation numérique directe (DNS) montre que l'écoulement converge vers un cycle limite. On sait maintenant décrire quantitativement cette bifurcation en calculant les différentes constantes, ici a et b, qui interviennent dans l'équation de Stuart-Landau :

représente la distance à la bifurcation. Ici, A représente un scalaire complexe décrivant l'amplitude du mode global.

 
  Solution stationnaire (vitesse horizontale) des équations de Navier-Stokes pour Re=6250. Sipp et al. JFM 2012. Mode global instable caractérisé par un comportement temporel avec s=0.12 et w=6.99. Sipp JFM 2012.

A noter que pour des systèmes de très grande dimension comme ceux rencontrés ici, la détermination de solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes ainsi que le calcul de vecteurs propres requièrent des algorithmes spécifiques et de gros moyens de calculs (des clusters). Ce travail a largement fait appel aux mathématiques appliqués et au calcul scientifique.

Références

  • Sipp & al JFM 2007, Meliga et al. JFM 2009b,
  • Meliga et al. JFM 2010, Yamouni et al. JFM 2013

     

> Amplificateurs de bruit

On a étudié dans le détail un écoulement de marche descendante ainsi qu'un écoulement de couche limite. Nous avons démontré que la dynamique linéaire de ces écoulements était caractérisée de façon adéquate à l'aide de valeurs singulières de l'opérateur résolvant et non à l'aide valeurs propres de l'opérateur Jacobien. Dans le cas d'une couche limite caractérisée par Re=600 000, nous avons décrit avec ces nouveaux concepts les instabilités de Tollmien-Schlichting ainsi que les instabiltités de Lift-Up du système. Dans la figure ci-dessous, nous avons représenté les valeurs singulières, c'est-à-dire le potentiel d'amplification en fonction de la fréquence réduite F et les forçage et réponse optimaux obtenues dans le cas d'une fréquence réduite F=100.

 

 

 
  Valeurs singulières de l'opérateur résolvant en fonction de la fréquence réduite F sur une couche limite de plaque plane à Re=600000. Brandt etl al JFM 2011.   Forçage optimal et réponse optimale d'une couche limite sur plaque plane (fréquence réduite F=100). Brandt et al. JFM. 2011.  


Réferences

  • Marquet et al. JFM 2008b
  • Sipp & al. TCFD 2012, Brandt et al. JFM 2011)
     

> Dynamique tridimensionnelle

La dynamique transitionnelle des écoulements présentés dans les paragraphes précédents était décrite à partir d'études de stabilité d’écoulement de base purement bidimensionnel. Le caractère supposé bidimensionnel de l’écoulement reste une hypothèse restrictive, soit parce que l’écoulement autour d’un corps bidimensionnel peut transitionner vers un état tridimensionnel (tridimensionnalité intrinsèque), soit parce que la géométrie des corps considérés est elle-même tridimensionnelle (tridimensionnalité extrinsèque). Les deux types de tridimensionnalité ont été étudiés pour des écoulements se comportant comme des oscillateurs. Les méthodes numériques ont dû être adaptées pour pouvoir traiter ces systèmes de très grande taille (parralélisation, méthodes itératives, etc).

Tridimensionnalité intrinsèque : une bulle de recirculation

De nombreuses études de stabilité globale menées ces dix dernières années ont montré que les écoulements de recirculation (marche descendante, ascendante, bulbe de décollement) se déstabilisaient via un mode global stationnaire tridimensionnel (voir diagramme de stabilité dans la figure de gauche ci-dessous). Nous avons étudié la nature de cette bifurcation grâce à une analyse faiblement non-linéaire dans un cas spécifique d’écoulement de marche descendante arrondie. L’état stationnaire tridimensionnel non-linéaire a ensuite été calculé (figure de droite en haut) et la stabilité globale de cet état a été déterminée (le mode propre instable oscillant est représenté dans la figure de droite en bas). Un nouveau scénario de transition a ainsi pu être proposé.

           
             
      Stabilité globale de l’écoulement bidimensionnel. Courbe neutre (rouge) dans le plan. Nombre de Reynolds Re et nombre d‘onde transverse k. Bifurcation fourche : l’écoulement transitionne vers un état stationnaire tridimensionnel.       Etat stationnaire tridimensionnel (haut) caractérisé par une oscillation transverse de la ligne de réattachement. Stabilité globale de l’état tridimensionnel : premier mode global instable (bas). Bifurcation de Hopf.

Tridimensionnalité extrinsèque : le sillage d’une plaque d’envergure finie

On a étudié la stabilité globale du sillage de plaques de faible rapport d'aspect longueur sur largeur (L) compris dans la gamme entre 1 et 6. Toutes les configurations étudiées ont un rapport d'aspect épaisseur sur largeur égal à 1/6. Ces données géométriques correspondent à des expériences conduites à l’IMFT sur la chute libre de plaques (ANR OBLIC). Un diagramme de bifurcation dans le plan (L,Re) est présenté sur la figure de gauche ci-dessous et montre que plusieurs modes disctincts peuvent déstabiliser l'écoulement. A droite on a réprésenté une vue de haut et de côté de l'un de ces modes. On a ainsi pu déterminer plusieurs régimes de déstabilisation de l’écoulement en fonction du rapport d’aspect de l'objet.

   
    Courbes neutres dans l’espace des paramètres de contrôle : nombre de Reynolds Re et rapport d’aspect L (longueur sur largeur de la plaque). Vues de haut et de côté du mode global instable correspondant à la première bifurcation (Hopf) pour une plaque de  rapport d’aspect L=2.5 et un nombre de Reynolds Re=100. La surface de recirculation du champ de base est en gris.

 

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