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Hydroélasticité et ballottement des réservoirs remplis de liquide

Influence des fluides internes incompressibles sur les vibrations des structures.

Les modèles d’analyse du comportement vibratoire ou aéroélastique des engins aéronautiques s’appuient en règle générale sur une représentation modale de la structure. Le but des recherches que nous avons menées durant ces dernières années a été d’améliorer cette représentation modale en prenant en compte l’influence de liquides internes (carburants) dans les modèles. Alors que l’approche industrielle classique consiste à représenter les liquides internes comme des masses ajoutées réparties sur les parois des réservoirs, on s’intéresse ici à une méthode qui puissent prendre en compte (au premier ordre) la dynamique interne du liquide et les effets du ballottement. En 1992, Morand & Ohayon ont proposé une modélisation hydroélastique, dite « avec gravité », qui a la particularité de ne pas négliger les effets de la gravité, comme c’est le cas dans une modélisation hydroélastique classique, permettant ainsi de représenter, par un modèle linéaire, l’ensemble des couplages entre les mouvements de la surface libre du fluide et les mouvements d’ensemble ou les déformations du réservoir.

Dans un premier temps, les différents aspects de cette modélisation ont été validés :

  • Tout d’abord à partir de mesures expérimentales réalisées par X.-J. Chai en 1996 sur une cuve remplie d’eau, de forme parallélépipédique, considérée comme fixe et rigide, au fond de laquelle une plaque souple est encastrée. Les fréquences des premiers modes couplés antisymétriques obtenues par le modèle de fluide hydroélastique avec gravité sont très proches des fréquences mesurées (figure 1).


Figure 1a : Visualisation des 3 premiers modes antisymétriques
de la cuve expérimentale de Chai. Fréquence propre
calculée 1.58 Hz (mesure exp. : 1.56 Hz)
[video]


Figure 1b : fréquence propre calculée 2.42 Hz (mesure exp. : 2.39 Hz)


Figure 1c : fréquence propre calculée 2.98 Hz (mesure exp. : 2.95 Hz)

  • Une autre validation a été réalisée par comparaison avec un benchmark proposé en 1991 par Kreis & Klein qui considère un réservoir rigide parallélépipédique suspendu à une liaison pivot. Les fréquences propres que nous obtenons sont relativement proches de celles que Kreis & Klein ont publiées (figure 2).


Figure 2 : Paramètres du benchmarck de Kreis et Klein

Figure 2b : fréquence propre calculée : 0.91 Hz (valeur de Kreis & Klein : 0.99 Hz)
Figure 2b : fréquence propre calculée : 0.91 Hz (valeur de Kreis & Klein : 0.99 Hz)

  • Le manque de résultats expérimentaux disponibles dans la littérature nous a incité à engager une campagne expérimentale. Une première série d’expériences a été réalisée sur une cuve en polyuréthane de forme parallélépipédique partiellement remplie d’eau (figure 3). Les très basses fréquences propres du système ont mis en évidence des modes de ballottement qui correspondent aux valeurs théoriques et aux modes calculés par éléments finis (tableau 1).

Figure 3 : cuve expérimentale équipée de sondes capacitives et d’un excitateur de surface
Figure 3 : cuve expérimentale équipée de sondes capacitives
et d’un excitateur de surface

analytique
(Hz)
éléments
finis (Hz)
mesures
exp (Hz)
erreur
max.(%)
1,151,1261,1563
1,6931,6831,6971
2,0772,0732,11

Tab. 1 : Comparaison entre fréquences propres
de ballottement théoriques, calculées et mesurées

Dans un deuxième temps, notre préoccupation a été d’adapter la formulation fluide-structure présentée en vue d’une utilisation en milieu industriel. Afin que l’effort d’implémentation dans un code éléments-finis structural standard soit minimal et que les temps de calcul additionnels dus à l’introduction des liquides internes soient faibles, nous avons développé des modèles réduits à partir de la formulation complète. Pour cela, deux approches ont été envisagées :

  • La première date des années 50 et consiste à représenter la dynamique du fluide par un ensemble de systèmes mécaniques équivalents de type masse-ressort ou pendule. La méthode traditionnelle pour déterminer le paramétrage de ces systèmes s’appuyant sur la connaissance d’une solution analytique de l’équation de ballottement du liquide, seuls des réservoirs de géométrie élémentaire pouvaient être traités. En utilisant notre modélisation éléments finis du liquide, nous avons étendu cette méthode aux réservoirs tridimensionnels de forme quelconque.
  • La seconde vise à construire un modèle réduit par projection des équations complètes fluide-structure sur une base modale appropriée (par exemple la base des modes de ballottement du fluide).

Ces deux approches ont été validées et comparées sur différents cas tests (Tableau 2).

Fréq. propres
(Hz)
Modèle complet
(hydro. avec g)
Masses-
ressorts
Réduction
modale
1ère flexion0,1520,1350,152
1ère torsion0,594
1,47
1,72
...
0,546
1,43
1,71
...
0,594
1,47
1,72
...
2ème flexion0,689
1,54
1,80
...
0,668
1,52
1,77
...
0,689
1,54
1,80
...
3ème flexion3,453,453,45
1er lacet bid.5,996,025,99


Comparaison des modèle masses-ressorts et modèle réduit par projection modale avec le modèle complet (en bas  : illustration du 1er mode de 2ème flexion)
Comparaison des modèle masses-ressorts
et modèle réduit par projection modale avec le modèle complet
(en bas  : illustration du 1er mode de 2ème flexion)

La représentation du fluide interne par systèmes mécaniques équivalents a été appliquée à un réservoir compartimenté d’empennage d’avion (figures 4 et 5) dans le cadre d’une collaboration avec Airbus France. Un impact significatif du ballottement du carburant sur certaines fréquences propres de l’appareil a été constaté.

Figure 4 : r éservoir d’empennage de quadrimoteur
Figure 4 : r éservoir d’empennage de quadrimoteur

Figure 5 : compartimentage et remplissage du réservoir
Figure 5 : compartimentage et remplissage du réservoir

En ce qui concerne les applications de ce travail au domaine aéroélastique, une étude de faisabilité a été réalisée en partenariat avec Dassault Aviation sur un modèle simplifié d’aile d’avion militaire équipée de bidons externes (Fig. 6 et 7). L’influence du ballottement dans les réservoirs sur la stabilité en vol de l’appareil a été observée de façon qualitative.

Figure 6 : modélisation du ballottement du carburant dans un réservoir auxiliaire
Figure 6 : modélisation du ballottement du carburant dans un réservoir auxiliaire
[video]

Figure 7 : exemple de mode hydroélastique
Figure 7 : exemple de mode hydroélastique